如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为棱BC，B1C1的中点．（1）求证：直线A1D1∥平面ADC1．（2）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（

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（1）证明：连接DD1，∵点D1为棱B1C1的中点，
则，所以四边形AA1D1D为平行四边形
∴A1D1∥AD．
又AD?平面ADC1，A1D1?平面ADC1，
∴A1D1∥平面ADC1
（2）证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC1
∵点D为棱BC的中点，
∴AD⊥BC，
CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，CC1∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC1B1
又∵AD?平面ADC1，
∴平面ADC1⊥平面BCC1B1
（3）解：由（1）得AD⊥平面BCC1B1，
∴AD⊥BC，AD⊥C1D
∴∠C1DC为二面角C1-AD-C的平面角
又CD=1，CC1=4，∴
在Rt△C1CD中，
∴二面角C1-AD-C的余弦值为．
解析分析：（1）利用线面平行的判定定理，只需证明平面外的直线平行于平面内的一条直线，证明A1D1∥AD即可；
（2）利用面面垂直的判定定理，只需证明一个平面经过另一个平面的垂直，证明AD⊥平面BCC1B1即可；
（3）先判断∠C1DC为二面角C1-AD-C的平面角，再在Rt△C1CD中求解即可．


点评：本题以正三棱柱为载体，考查线面、面面位置关系，考查面面角，解题的关键是正确掌握线面平行、面面垂直的判定定理．