设数列{an}的前n项和Sn=2an+×（-1）n-，n∈N*．（Ⅰ）求an和an-1的关系式；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）证明：++…+＜，n∈N*．

网友回答

解：（Ⅰ）由Sn=2an+×（-1）n-，n=1，2，3，…，①
得Sn-1=2an-1+×（-1）n-1-，n=2，3，…，②
将①和②相减得：，n=2，3，…，
整理得：an=2an-1+3×（-1）n-1，n=2，3，…．
（Ⅱ）在已知条件中取n=1得，a1=2a1--，∴a1═2．
∵an=2an-1+3×（-1）n-1，∴（-1）nan=-2（-1）n-1an-1-3，
∴令bn=（-1）nan得bn=-2bn-1-3，n=2，3，…．
∴bn+1+1=-2（bn+1），n=1，2，3，…，
∵b1+1=-1≠0，∴bn+1=（-1）×（-2）n-1，n=1，2，3，…，
∴an=2n-1+（-1）n-1．
（Ⅲ）∵，∴S2k-1=22k-1，S2k=22k-1．
∴++…+=＜．
同理++…+，∴++…+＜，n∈N*．
解析分析：（Ⅰ）由Sn=2an+×（-1）n-，n=1，2，3，…，再写一式，两式相减整理可得an=2an-1+3×（-1）n-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）令bn=（-1）nan得bn=-2bn-1-3，构造新数列bn+1是等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）由，∴S2k-1=22k-1，S2k=22k-1，再进行分组求和，利用等比数列的求和公式可证．


点评：本题主要考查数列通项公式的求解，考查数列与不等式的综合，有一定的难度．