已知抛物线y2=4x的准线与x轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与X轴交于D（X0，0）
（1）求X0的取值范围．
（2）△ABD能否是正三角形？若能求出X0的值，若不能，说明理由．
网友回答
解：（1）由题意易得M（-1，0）
设过点M的直线方程为y=k（x+1）（k≠0）代入y2=4x，得k2x2+（2k2-4）x+k2=0
再设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1?x2=1
y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2）+2k=
∴AB的中点坐标为（）
那么线段AB的垂直平分线方程为，
令y=0，得，即
又方程（1）中△=（2k2-4）2-4k4＞0，∴0＜k2＜1，∴，
∴x0＞3
（2）若△ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于
点D到AB的距离d=
据，得：
∴4k4+k2-3=0，（k2+1）（4k2-3）=0，
∴，满足0＜k2＜1
∴△ABD可以为正△，此时
解析分析：（1）设过点M的方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0可求得k2的范围，令A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和y1+y2，进而得到AB中点坐标，AB垂直平分线的方程，令y=0，得，这样就可以求出X0的取值范围．（2）若△ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于，由此建立方程，可求，满足0＜k2＜1，从而我们就可以解出这道题．
点评：直线与抛物线的位置关系问题，通常我们是联立方程，组成方程组，利用韦达定理求解，对于存在性命题，一般式假设存在，转化为封闭性命题求解．