已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.①求侧面A1ABB1与底面

发布时间:2020-08-01 02:42:03

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.
①求侧面A1ABB1与底面ABC所成锐二面角的大小;
②求顶点C到侧面A1ABB1的距离.

网友回答

解:①作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC
作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB.
所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知,AB⊥BC,得ED∥BC.
又D是AC的中点,BC=2,AC=2
所以DE=1,AD=A1D=,∴tan∠A1ED==.
故∠A1ED=60°为所求.
②由点C作平面A1ABB1的垂线,垂足为H,则CH的长是C到平面A1ABB1的距离.
连接HB,由于AB⊥BC,得AB⊥HB.
又A1E⊥AB,知HB∥A1E,且BC∥ED,
所以∠HBC=∠A1ED=60°
所以CH=BCsin60°=为所求.
解析分析:①利用三垂线定理作出角,即作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB,所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角;②求顶点C到侧面A1ABB1的距离,直接作出距离解三角形即可.

点评:本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.
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