在如图所示的几何体中,三条直线AE,AC,BC两两互相垂直,且AC=BC=BD=2AE,AE∥BD,M是线段AB的中点.
(1)求证:CM⊥EM;
(2)求直线EM与平面CDE所成角的余弦值.
网友回答
(1)证明:因为M是线段AB的中点,AC=BC
所以CM⊥AB,又AE,AC,BC两两互相垂直,
故AE⊥平面ABC,
因为CM?平面ABC,
所以AE⊥CM
因为AB∩AE=A
所以CM⊥平面ABE,
因为EM?平面ABE,
故CM⊥EM.
(2)解:设M在平面CDE的射影为H,令CH交DE于F,连接MF,EH.∠MEH为直线EM与平面CDE所成角…6′
因为CM⊥平面ABE,所以DE⊥MC,又DE⊥MH,MC∩MH=M
所以DE⊥平面MCF,故DE⊥MF,
令AE=a,M是线段AB的中点,AC=BC=BD=2a,AB=
在直角梯形ABDE中可得:ME=,
DE=3a,MD=,∴∠EMD=90°
在△DME中可得:MF=
在△FMC中可得:MH=a,∴
直线EM与平面CDE所成角的余弦值为.
解析分析:(1)证明CM⊥EM,可先证明CM⊥平面ABE,只需证明CM⊥AB,AE⊥CM;(2)设M在平面CDE的射影为H,令CH交DE于F,连接MF,EH.∠MEH为直线EM与平面CDE所成角,求出ME,MH,即可求得直线EM与平面CDE所成角的余弦值.
点评:本题考查线线垂直,考查线面角,解题的关键是正确运用线面垂直的判定,正确作出线面角,属于中档题.