(文科)?在数列{an}中,如果对任意n∈N+都有=p(p为非零常数),则称数列{an}为“等差比”数列,p叫数列
{an}的“公差比”.
(1)已知数列{an}满足an}=-3?2n+5(n∈N+),判断该数列是否为等差比数列?
(2)已知数列{bn}(n∈N+)是等差比数列,且b1=2,b2=4公差比p=2,求数列{bn}的通项公式bn;
(3)记Sn为(2)中数列{bn}的前n项的和,证明数列{Sn}(n∈N+)也是等差比数列,并求出公差比p的值.
网友回答
解:(1)因为数列{an}满足an=-3?2n+5(n∈N+),
所以==2(n∈N+);
所以,数列{an}是等差比数列,且公差比p=2.
(2)因为数列{bn}是等差比数列,且公差比p=2,
所以,=2(n≥2),即数列{bn-bn-1}是以(b2-b1)为首项,公比为2的等比数列;
bn-bn-1=(b2-b1)?2n-2=2n-1(n≥2);
于是,bn-bn-1=2n-1,bn-1-bn-2=2n-2,…,b2-b1=2;
将上述n-1个等式相加,得
bn-b1=2+22+23+…+2n-1==2n-2;
∴数列{bn}的通项公式为bn=2n(n∈N+).
(3)由(2)可知,sn=b1+b2+b3+…+bn=2+22+23+…+2n=2n+1-2;
于是,==2(n∈N+);
所以,数列{sn}是等差比数列,且公差比为p=2.
解析分析:(1)把数列{an}的通项an=-3?2n+5代入定义公式,可证得{an}是等差比数列.(2)由等差比数列的定义知,=2(n≥2),得数列{bn-bn-1}是等比数列,其通项公式为bn-bn-1=2n-1(n≥2);用叠加法可得bn-b1=…=2n-2;从而得数列{bn}的通项公式.(3)由sn=b1+b2+b3+…+bn=…=2n+1-2;代入定义公式,可证得数列{sn}是等差比数列,且公差比为2.
点评:本题以新定义公式为载体,考查了等比数列的通项公式,前n项和公式的灵活应用;也考查了一定的计算能力,是中档题.