已知二次函数f（x）=ax2+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（I）求f（x）的解析式；（II）已知k的取值范围为[，+∞），则是否存

网友回答

解：（1）∵f（x+1）为偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即a（-x+1）2+b（-x+1）=a（x+1）2+b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f（x）=ax2-2ax，∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴二次方程ax2-（2a+1）x=0有两相等实数根，∴△=（2a+1）2-4a×0=0，
∴a=，即有f（x）=-x2+x…（5分）
（2）∵f（x）=-（x-1）2+≤，∴[km，kn]?（-∞，]，∴kn≤，又k≥，∴n≤≤，
又[m，n]?（-∞，1]，f（x）在[m，n]上是单调增函数，∴即
即m，n为方程-x2+x=kx的两根，解得x1=0，x2=2-2k．
∵m＜n且k≥．
故当≤k＜1时，[m，n]=[0，2-2k]；?当k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]；??当k=1时，[m，n]不存在…（12分）

解析分析：（I）根据f（x+1）为偶函数，可得f（-x+1）=f（x+1），从而b=-2a，f（x）=ax2-2ax，利用函数f（x）的图象与直线y=x相切，可得二次方程ax2-（2a+1）x=0有两相等实数根，从而可求f（x）的解析式；（II）先确定f（x）在[m，n]上是单调增函数，从而，进而可得m，n为方程-x2+x=kx的两根，结合m＜n且k≥，可得结论．

点评：本题考查函数的解析式，考查函数的定义域与值域，正确运用函数的性质是关键．