已知a1=1，an+1=3an+1，求通项an.

网友回答

解法1（迭代法）利用递推式，将已知的an的值反复代入，有
　　a1=1，a2=3a1+1=3+1，a3=3a2+1=32+3+1，a4=3a3+1=33+32+3+1，可见an=3n-1+3n-2+…+3+1.
　　由等比数列求和公式1+3+…+3n-2+3n-1=1-3n1-3，从而得an=3n-12.
　　点评对于不熟悉的递推数列，通常可用迭代法试求.但应注意不要把每项都计算出具体数值，而应保持其算式，以便从过程中观察出规律，得到结论.
　　解法2（求差法）借助熟知的等差数列、等比数列的思想方法.
　　将an+2=3an+1+1与an+1=3an+1相减，有
　　an+2-an+1=3（an+1-an），即an+2-an+1an+1-an=3（*）.
　　视an+1-an为一整体，记bn=an+1-an，则有bn+1bn=3.可见{bn}是公比为3的等比数列，它的首项b1=a2-a1=（3a1+1）-a1=3.所以
　　bn=b1×3n-1=3n，即an+1-an=3n.
　　再将已知递推公式代入，有（3an+1）-an=3n，从而得an=3n-12.
　　另解由（*）式可知{an+1-an}是公比为3，首项为a2-a1=3的等比数列.
　　由恒等式an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）（**）
　　有an=1+3+32+…+3n-1=3n-12.
　　点评解法2采用等差、等比数列的探求方法，先用差的方法，并将an+1-an视为一个整体，得到等比数列.而另解中巧用数列恒等式（**），更使问题轻松获解，这个恒等式在数列问题中经常用到，应充分重视.
　　解法3（求商法）在递推式an+1=3an+1两边同除以3n+1，得an+13n+1=an3n+（13）n+1，即an+13n+1-an3n=（13）n+1
　　视an3n为一整体，利用恒等式（**）有
　　an3n=a13+（a232-a13）+（a333-a232）+…+（an3n-an-13n-1）
　　=13+（13）2+（13）3+…+（13）n=13[1-（13）n]1-13，
　　从而得an=3n-12.
　　点评一般地，对于递推数列an+1=pan+q，可以两边同除以pn+1，得到
　　an+1pn+1-anpn=q（1p）n+1，再用恒等式（**）可获解.
　　解法4（待定系数法）假设an+1=3an+1可化成如下形式
　　an+1-x=3（an-x），即an+1=3an-2x.
　　与an+1=3an+1比较对应项系数，可知-2x=1，得x=-12.
　　这样，{an+12}是公比为3，首项为a1+12=32的等比数列.因此an+12=32×3n-1，从而得an=3n-12.
　　点评待定系数法的关键是假设的形式是否合理，若不合理，则求不出待定的系数.从解法4可以知道本例原型高考题（证明{an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式）的由来.对于形如an+1=pan+q的递推数列，都可以用待定系数法求解.推导如下：
　　假设可化成an+1-x=p（an-x），即an+1=pan+（1-p）x.
　　与原递推式an+1=pan+q比较对应项系数，有（1-p）x=q，得x=q1-p.
　　那么{an-x}即{an-q1-p}是公比为p的等比数列.
　　解法5（特征根法）如果对于递推式an+1=pan+q，视an+1与an为未知数x，那么有x=px+q，求得x=q1-p.这与以上用待定系数法求得的x相同.为了便于记忆，我们称x=px+q为递推式an+1=pan+q的特征方程，解得的x=q1-p称为特征根.根据这个结论，递推式an+1=3an+1的特征方程是x=3x+1，解得的特征根x=-12.这样，{an-（-12）}，即{an+12}是公比为3，首项为a1+12=32的等比数列.所以an+12=32×3n-1，从而an=3n-12.
　　点评特征根法是求解形如an+1=pan+q递推数列的通项公式最简单、最快捷的方法.同学们不妨换个题目试用一下，来体会这种方法的优越性.