若函数f（x）=ax3+x，（1）求实数a的取值范围，使f（x）在R上是增函数．（2）求实数a的取值范围，使f（x）恰好有三个单调区间．

网友回答

解：求导函数，可得f′（x）=3ax2+1，
（1）f（x）在R上是增函数，∴f′（x）=3ax2+1≥0在R上恒成立，
当x=0时，a∈R；当x≠0时，3a，∴a≥0；
综上知，a≥0；
（2）f（x）恰好有三个单调区间，则f′（x）=3ax2+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=0-12a＞0
∴a＜0
解析分析：求导函数，可得f′（x）=3ax2+1，（1）f（x）在R上是增函数，则f′（x）=3ax2+1≥0在R上恒成立；（2）f（x）恰好有三个单调区间，则f′（x）=3ax2+1=0有两个不相等的实数根故可求得结论．

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，解题的关键是将所求问题进行等价转化，属于基础题．