如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C、BB1A1A为全等的矩形，并且AB=1，BB1=2，AB⊥侧面BB1C1C，D为棱C1C上异于C、C1的一点，且DB⊥DA1．
（1）求证：B1D⊥平面ABD；
（2）求二面角A-DB1-A1的余弦值．
网友回答
（1）证明：依题意，可知BA，BC，BB1两两垂直，
以B为坐标原点，BC为x轴，BB1为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，
则B（0，0，0），A（0，0，1），C（1，0，0），
B1（0，2，0），A1（0，2，1），C1（1，2，0）
设D（1，y，0），则，
∵DB⊥DA1，
从而，
∴，
∴B1D⊥BD，B1D⊥BA，
∴B1D⊥平面ABD；
（2）解：由题意A1B1⊥B1D，
又，
∴，
∴B1D⊥AD，
设二面角A-DB1-A1的大小为θ
则，
即二面角A-DB1-A1的大小的余弦值为．
解析分析：（1）依题意，可知BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BC为x轴，BB1为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，则，由向量法能够证明B1D⊥平面ABD．（2）由题意A1B1⊥B1D，又，故，B1D⊥AD，设二面角A-DB1-A1的大小为θ，由向量法能够求出二面角A-DB1-A1的大小的余弦值．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意向量法的合理运用．