已知函数?f（x）=ex（ax2+a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[-2，-1]恒成立，求

网友回答

（Ⅰ）解：当a=-1时，f（x）=-x2ex，f（1）=-e．f'（x）=-x2ex-2xex，…（2分）
因为切点为（1，-e），则k=f'（1）=-3e，…（4分）
所以在点（1，-e）处的曲线的切线方程为：y=-3ex+2e．????…（5分）
（Ⅱ）解：由题意得，，即．??????…（9分）
（注：凡代入特殊值缩小范围的均给4分）f'（x）=ex（ax2+2ax+a+1）=ex[a（x+1）2+1]，…（10分）
因为，所以f'（x）＞0恒成立，
故f（x）在[-2，-1]上单调递增，…（12分）
要使恒成立，则，解得．…（15分）
解析分析：（Ⅰ）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决；（Ⅱ）代入特殊值缩小a的范围，然后根据a的范围确定函数f（x）的导函数的符号，从而得到f（x）在[-2，-1]上的单调性，最后根据恒成立只需恒成立即可．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．