已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．

网友回答

解：（1）∵数列为等差数列
设，
===1，（6分）
可知，数列为首项是2、公差是1的等差数列．（7分）
（2）由（1）知，，
∴an=（n+1）?2n+1．（8分）
∴Sn=（2?21+1）+（3?22+1）+…+（n?2n-1+1）+[（n+1）?2n+1]．
即Sn=2?21+3?22+…+n?2n-1+（n+1）?2n+n．
令Tn=2?21+3?22+…+n?2n-1+（n+1）?2n，①
则2Tn=2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1．②（12分）
②-①，得Tn=-2?21-（22+23++2n）+（n+1）?2n+1=n?2n+1．
∴Sn=n?2n+1+n=n?（2n+1+1）．（15分）
解析分析：（1）设，===1，所以数列为首项是2、公差是1的等差数列．（2）由题设知，，所以an=（n+1）?2n+1．所以Sn=2?21+3?22+…+n?2n-1+（n+1）?2n+n．由错位相减法能够求出数列{an}的前n项和Sn．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求法和错位相减求和法的合理运用．