解答题在数列{an}中，，n∈N*．（1）证明数列{an+n}是等比数列；（2）求数列

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（1）证明：，n∈N*
又，
所以数列{an+n}是首项为，且公比为2的等比数列
（2）解：
由（1）可知an+n=×2n-1=2n-2
于是数列{an}的通项公式为an=2n-2-n
所以数列{an}的前n项和=
（3）对任意的n∈N*，Sn+1-Sn==2n-1-（n+1）
n=1时，2n-1-（n+1）=-1＜0? 所以S2＜S1????
n=2时，2n-1-（n+1）=-1＜0??? 所以S3＜S2
n=3时，2n-1-（n+1）=0??????? 所以S4=S3
n=4时，2n-1-（n+1）=3＞0????? 所以S5＞S4
猜想“n∈N*，且n≥4时，2n-1＞（n+1）”
下面用数学归纳法证明：
①当n=4时，已证
②假设当n=k（k≥4）时，命题成立，即2k-1＞（k+1）
那么当n=k+1时，2k=2×2k-1＞2（k+1）=（k+2）+k＞k+2=（k+1）+1
这就是说，当n=k+1时，命题也成立
根据①和②，可知当n∈N*且n≥4时，不等式2n-1＞（n+1）都成立
综上S1＞S2＞S3=S4＜S5＜S6＜＜Sn＜Sn+1＜
所以当n=3，?n=4时，Sn取到最小值：解析分析：（1）由递推关系拼凑出an+n和an+1+（n+1）之间的关系式找到其比值为常数即可．（2）由{an+n}是等比数列找到{an}的通项，再用分组求和的方法求出{an}的前n项和Sn；（3）先找的关系，得到猜想“n∈N*，且n≥4时，2n-1＞（n+1）”，再用数学归纳法证明即可．点评：本题是一道综合题，既有等比数列的证明和数列的求和，又用到了数学归纳法的证明，是一道中档题．