奇函数y=f（x）的定义域为R，当x≥0时，f（x）=2x-x2．（1）求函数y=f（x），x∈R的解析式；（2）设函数y=f（x），x∈[a，b]的值域为，（a≠b

网友回答

解：（1）设x＜0，则-x＞0，故f（-x）=2（-x）-（-x）2=-2x-x2，
由于函数为奇函数，故可得-f（x）=f（-x）=-2x-x2，
所以f（x）=2x+x2，故函数y=f（x），x∈R的解析式为：
f（x）=；
（2）由x∈[a，b]的值域为，可知a＜b，且，
故可得=＜0，所以ab＞0，即ab同号，
当a＜b＜0时，由函数的最小值为f（-1）=-1可知≥-1，解得b≤-1，
故a，b落在函数的单调递减区间，故有f（a）=，f（b）=，
当0＜a＜b时，由函数的最大值为f（1）=1可知≤1，解得a≥1，
故a，b落在函数的单调递减区间，故也有f（a）=，f（b）=，
整理可得ab为方程x3-2x2+1=0，即（x-1）（x2-x-1）=0的根，
解之可得a=1，b=．

解析分析：（1）设x＜0，则-x＞0，代入已知解析式结合函数的奇偶性可得；（2）可得ab同号，分a＜b＜0，和0＜a＜b两类，解方程可得结果，注意不同段的解析式即可．

点评：本题考查函数解析式的求解，以及函数的值域，分类讨论是解决问题的关键，属基础题．