已知a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=-6a，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-

网友回答

（1）证明：∵a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，
∴a=-2，b=3，a2=-12．
∵a1=1，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-ban（n∈N*），
∴bn+1=an+2-3an+1
=6an+1-9an-3an+1
=3（an+1-3an）
=3bn（n∈N*）．
又b1=a2-3a1=9，
∴数列{bn}是公比为3，首项为b1的等比数列．
（2）解：由（1）得．
于是，有（n∈N*），
即．
又，（n∈N*），则cn+1-cn=1，n∈N*．
因此，数列{cn}的递推公式是．
（3）解：由（2）可知，数列{cn}是公差为1，首项为的等差数列，
于是cn=，（n∈N*）．
故=（3n-2）?3n-1，（n∈N*）．
因此，Sn=a1+a2+…+an
=1+4?3+7?32+…+（3n-2）?3n-1，
3Sn=1?3+4?32+7?33+…+（3n-2）?3n，
将上述两个等式相减，
得-2=1+-（3n-2）?3n，
∴2Sn=n?3n+1-+．
所以-+，（n∈N*）．
解析分析：（1）由a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，解得a=-2，b=3，a2=-12．由a1=1，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-ban（n∈N*），得到bn+1=an+2-3an+1=3bn（n∈N*）．由此能够证明数列{bn}是等比数列．（2）由，得．由此能够推导出数列{cn}的递推公式．（3）由cn=，（n∈N*），得=（3n-2）?3n-1，（n∈N*）．由此利用错位相减法能够求出数列{an}的前n项和．

点评：本题考查等比数列的证明，数列的递推公式的推导，数列前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．