已知a为常数，函数f（x）=a（x-1）（x-a）．（1）若f（x）＞-a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围；（2）解不等式f（x）＞x-1．

网友回答

解：（1）f（x）＞-a对一切x属于R恒成立，即f（x）+a＞0对一切x属于R恒成立，即a（x-1）（x-a）+a＞0对一切x属于R恒成立，即a[x2-（a+1）x+a+1]＞0，
分别讨论：
1）当a=0时，左边=0，不等式不成立，a无解
2）当a＞0时，两边同除以a，得x2-（a+1）x+a+1＞0，
因y=x2-（a+1）x+a+1为开口向上的抛物线，因对一切x属于R不等式x2-（a+1）x+a+1＞0恒成立，
故x2-（a+1）x+a+1=0无解，其判别式（a+1）2-4（a+1）＜0，
即（a+1）（a+1-4）=（a+1）（a-3）＜0，
解得0＜a＜3；
3）当a＜0时，两边同除以a，得x2-（a+1）x+a+1＜0，
因y=x2-（a+1）x+a+1为开口向上的抛物线，
不论a取什么值，都不可能使x2-（a+1）x+a+1＜0恒成立，故此时a无解；
综上所述，只有当0＜a＜3时，f（x）＞-a对一切x属于R恒成立．
（2）不等式f（x）＞x-1，即a（x-1）（x-a）-（x-1）＞0，即（x-1）[a（x-a）-1]＞0，
解得x-1＞0且a（x-a）-1＞0 或x-1＜0且a（x-a）-1＜0，
利用前面求得的0＜a＜3可知，第一组解得，因，
故第一组解为；
同理，第二组解为x＜1．综上所述，不等式f（x）＞x-1的解为x＜1或（其中0＜a＜3）．
解析分析：（1）将f（x）＞-a对一切x属于R恒成立转化为a[x2-（a+1）x+a+1]＞0，再对a分类讨论解决；（2）不等式f（x）＞x-1转化为（x-1）[a（x-a）-1]＞0，通过x-1＞0且a（x-a）-1＞0 或x-1＜0且a（x-a）-1＜0，使问题得到解决．

点评：本题考查函数的恒成立问题，考查的重点与难点在于分类讨论思想的灵活运用，是一道考查学生综合运用能力高低的一道好题．