解答题如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4，AB=2，M是AC的中点

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（1）解：在等边三角形ABC中，M为AC中点，BM⊥AC，
在正三棱柱中，C1 C⊥面ABC，BM?面ABC，∴C1 C⊥BM，
又 C1 C∩AC=C，BM?面ABC，
则BM⊥面 A1 C1CA，
∠M C1 B为 B C1与面 A1 C1CA所成角．
在 Rt△C1CB中，B C1=，在等边三角形ABC中，BM=，
则在 Rt△M C1 B中，sin∠M C1 B=．
（2）连接 N C1，在 Rt△AMN中，由勾股定理可得=，
同理在 Rt△M C1 C中，，在 Rt△A1 C1 N中，，
∴，则NM⊥M C1，
又BM⊥面 A1 C1CA，MN?面 A1 C1CA，则BM⊥MN，
又 M C1∩MB=M，∴MN⊥面 M C1 B，
又 B C1?面 M C1 B，则MN⊥B C1．
（3）作AD⊥BC，ME‖AD，此时由于M为AC中点，则DE=EC，=，且ME⊥BC，
在正三棱柱中，C1 C⊥面ABC，ME?面ABC，则 C1 C⊥ME，BC∩C1C=C，BC，C1 C均?面BC C1，ME⊥面BC C1，
作EH⊥B C1，连接MH，由三垂线定理得 B C1⊥MH，∴∠MHE为二面角C-C1B-M的平面角．
在△MB C1中，由，即，
在 Rt△MEH中，．
设=，
==．
∵．
∴+，
化为=，
∴，解得．
∴====．
∵，
∴．解析分析：（1）由等边三角形ABC的性质可得BM⊥AC，由正三棱柱的性质可得 C1 C⊥BM，利用线面垂直的判定定理可得BM⊥侧面ACC1A1，于是∠BC1M是所求的线面角；（2）利用勾股定理和逆定理即可证明MN⊥MC1，再利用（1）可得BM⊥MN，利用线面垂直的判定定理即可证明；（3）作AD⊥BC，ME‖AD，可得ME⊥BC．作EH⊥B C1，连接MH，利用正三棱柱的性质和三垂线定理得 B C1⊥MH，∴∠MHE为二面角C-C1B-M的平面角．利用向量共线定理找出与的关系，再利用向量的运算法则及已知条件即可得出．点评：熟练掌握等边三角形的性质、正三棱柱的性质、线面垂直的判定定理、线面角的定义、勾股定理和逆定理、三垂线定理、二面角定义和作法、向量共线定理、向量的运算法则是解题的关键．