已知数列{an}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，；当an为奇数时，．
（1）若a1=64，求数列{an}的通项公式；
（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；
（3）设（m≥3且m∈N），数列{an}的前n项和为Sn，求证：．
网友回答
解：（1）由，可得，，…，，，，a9=0，…，
即{an}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．
故数列{an}的通项公式为．
（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；
若a1=4k+1（k∈Z）时，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a1=-3；
若a1=4k+2（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；
若a1=4k+3（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a1=-1；
∴a1的值为-3，-1，0，2． （3）由（m≥3），可得，，，
若，则ak是奇数，从而，
可得当3≤n≤m+1时，成立．
又，am+2=0，…
故当n≤m时，an＞0；当n≥m+1时，an=0．
故对于给定的m，Sn的最大值为a1+a2+…+am=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3-1）+…+（21-1）=（2m+2m-1+2m-2+…+21）-m-3=2m+1-m-5，
故．
解析分析：（1）由，可得{an}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{an}的通项公式即可；
（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（k∈Z）时；若a1=4k+1（k∈Z）时；若a1=4k+2（k∈Z）时；若a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；
（3）由（m≥3），可得a2，a3，a4．若，则ak是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，an＞0；当n≥m+1时，an=0．故对于给定的m，Sn的最大值为2m+1-m-5，即可证出结论．
点评：本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．