已知曲线C的方程为y2=4x(x>0),曲线E是以F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点的椭圆,点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点,且.
(1)求曲线E的标准方程;
(2)直线l与椭圆E相交于A,B两点,若AB的中点M在曲线C上,求直线l的斜率k的取值范围.
网友回答
解:(1)设椭圆方程为,
依题意,c=1,,利用抛物线的定义可得xP-(-1)=,解得,
∴P点的坐标为,所以,
由椭圆定义,得.
∴b2=a2-c2=3,
所以曲线E的标准方程为;
(2)设直线l与椭圆E的交点A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中点M的坐标为(x0,y0),
设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),
与联立,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
由△>0得4k2-m2+3>0①,
由韦达定理得,x1+x2=,,
则x0=,y0=kx0+m=,
将中点(,)代入曲线C的方程为y2=4x(x>0),
整理,得9m=-16k(3+4k2),②
将②代入①得162k2(3+4k2)<81,
令t=4k2(t>0),
则64t2+192t-81<0,解得0<t<,
∴-<k<.
所以直线l的斜率k的取值范围为-<k<.
解析分析:(1)设椭圆方程为,由题意得c,由及抛物线定义可得P点横坐标,代入抛物线方程得纵坐标,由椭圆定义可得a,由b2=a2-c2可得b;.(2)设直线l与椭圆E交点A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中点F2的坐标为(x0,y0),设直线方程为y=kx+m(k≠0,m≠0)与联立,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,由△>0,得4k2-m2+3>0①,由韦达定理得AB的中点(,),代入曲线C的方程为y2=4x(x>0),得9m=-16k(3+4k2),再与①联立能求出直线l的斜率k的取值范围.
点评:本题考查曲线的标准方程的求法,考查直线的斜率的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.