解答题如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1∥平面D

发布时间:2020-07-09 01:18:35

解答题如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1∥平面DBC1;(2)假设AB1⊥BC1,BC=2,求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长.

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(1)证明:∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,∴四边形B1BCC1是矩形.连接B1C,交BC1于E,则B1E=EC.连接DE.在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1,又AB1?平面DBC1.DE?平面DBC1∴AB1∥DBC1.(2)解:作AF⊥BC,垂足为F.因为面ABC⊥面B1BCC1,所以AF⊥B1BCC1平面B1F.连接B1F,则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影.∵BC1⊥AB1,∴BC1⊥B1F.∵四边形B1BCC1是矩形,∴∠B1BF=∠BCC1=90°;∠FB1B=∠C1BC,∴△B1BF∽△BCC1.∴又F为正三角形ABC的BC边中点,因而B1B2=BF?BC=1×2=2,于是B1F2=B1B2+BF2=3,∴B1F=.即线段AB1在平面B1BCC1内射影长为解析分析:(1)由A1B1C1-ABC是正三棱柱,可知四边形B1BCC1是矩形,连接B1C,交BC1于E,则B1E=EC.连接DE,由三角形中位线定理得到DE∥AB1,再由线面平行的判定定理得到结论.(2)先作AF⊥BC,垂足为F.由面ABC⊥面B1BCC1,可知AF⊥B1BCC1平面B1F,由身影定义,可得B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影.然后在矩形B1BCC1中,由△B1BF∽△BCC1求解.点评:本小题考查空间线面关系,正棱柱的性质,空间想象能力和逻辑推理能力.属中档题.
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