解答题已知椭圆经过点,两焦点为F1、F2,短轴的一个端点为D,且.(1)求椭圆的方程;

发布时间:2020-07-09 01:18:11

解答题已知椭圆经过点,两焦点为F1、F2,短轴的一个端点为D,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l交椭圆C于A、B两点(A、B不是上下顶点),当以AB为直径的圆恒过定点P(0,1)时,试问:直线l是否过定点,若过定点.求出该点的坐标;若不过定点,请说明理由.

网友回答

解:(1)∵焦点为F1、F2,短轴的一个端点为D,且
∴△DF1F2为等腰直角三角形,且b=c
∴a=

∵椭圆经过点,

∴b=1

∴椭圆的方程为;
(2)①当直线l的斜率不存在时,设l:x=m,代入椭圆方程,可得
∴A(m,),B(m,-),
∵以AB为直径的圆恒过定点P(0,1)

∴(m,-1)?(m,--1)=0,
∴m=0
∴l:x=0;
②当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+b,代入椭圆方程,消去y可得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0
△=16k2-8b2+8>0,∴2k2>b2-1
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=
∵以AB为直径的圆恒过定点P(0,1)

∴=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=0
∴3b2-2b-1=0
∴或b=1
当b=1时,不符合题意;
当时,直线l恒过定点(0,-).解析分析:(1)根据焦点为F1、F2,短轴的一个端点为D,且,可得△DF1F2为等腰直角三角形,且b=c,再利用椭圆经过点,即可求得椭圆的方程;(2)①当直线l的斜率不存在时,设l:x=m,代入椭圆方程,求得A,B的坐标,利用以AB为直径的圆恒过定点P(0,1),可求l的方程;②当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+b,代入椭圆方程,利用以AB为直径的圆恒过定点P(0,1),结合韦达定理,可得结论.点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查计算能力,属于中档题.
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