解答题选修4-1:几何证明选讲
如图,在△ABC中,∠A=60°,AB>AC,点O是外心,两条高?BE,CF交于H点,点M,N分别在线段BH,FH上,且满足BM=CN,求的值.
网友回答
解:如图在BE上取BK=CH,连接OB、OC、OK,
由三角形的外心的性质可知:∠BOC=2∠A=120°,
由三角形的垂心性质可知:∠BHC=180°-∠A=120°,
所以∠BOC=∠BHC,所以B、C、H、O四点共圆,∠OBH=∠OCH,…(3分)
又因为OB=OC,BK=CH,所以△BOK≌△COH,
因为∠BOK=∠COH,OK=OH,所以∠KOH=∠BOC=120°,∠OKH=∠OHK=30°,…(6分)
观察△OKH,有:=,则KH=OH,
又因为BM=CN,BK=CH,所以KM=NH,所以MH+NH=MH+KM=KH=OH,
故=.…(8分)解析分析:在BE上取BK=CH,连接OB、OC、OK,由圆周角定理及∠A=60°可得∠BOC=120°,而由重心的性质,可得∠BHC=120°,进而根据四点共圆的判定方法,得到B、C、H、O四点共圆,进而可得△BOK≌△COH,根据正弦定理,我们可得KH=OH,进而根据MH+NH=MH+KM=KH,即可得到