解答题某建筑物的上半部分是多面体MN-ABCD,下半部分是长方体ABCD-A1B1C1D1(如图1).该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图2,其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成.
(1)求线段AM的长;
(2)证明:平面ABNM⊥平面CDMN;
(3)求该建筑物的体积.
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解:(1)在平面ABNM中,作NF⊥AB于F,再过F作FE∥BC,交CD于E,连接EN
∵AB⊥NF,AB⊥EF,NF∩EF=F,
∴AB⊥平面EFN.
根据该建筑物的左视图,可得△EFN是斜边EF=2的等腰直角三角形.
∴NF=EF=
∵四边形ABNM是等腰梯形,MN∥AB,NF是高,
∴BF==(4-2)=1.
∴Rt△BFN中,BN===
结合四边形ABNM是等腰梯形,得AM=BN=.
(2)∵NF⊥AB,MN∥AB,
∴NF⊥MN
又∵△EFN中,NF⊥NE,MN、NE是平面CDMN内的相交直线,
∴NF⊥平面CDMN
∵NF?平面ABNM,
∴平面ABNM⊥平面CDMN;
(3)在平面BAMN内,作MN⊥AB于H,过H作HG∥BC交CD于G,连接MG,
∵平面BAMN中,MH、NF都与AB垂直
∴MH∥NF,
∵MH?平面MHG,NF?平面MHG,
∴NF∥平面MHG,同理可得EF∥平面MHG.
∵NF、EF是平面NFE内的相交直线
∴平面MHG∥平面NFE
又∵MN∥AB∥CD,AB⊥平面EFN,
∴三棱柱MHG-NFE是直三棱柱.
可得:V三棱柱MHG-NFE=S△EFN×MN=×2×1×2=2,
又∵矩形ABCD中,FE∥BC,
∴SBCEF=BF×BC=1×2=2,可得V四棱锥N-BCEF=×SBCEF×1=
同理可得:V四棱锥M-ADGH=,
又∵V长方体ABCD-A1B1C1D1=SABCD×A1A=2×4×4=32
∴该建筑物的体积为V=V三棱柱MHG-NFE+V四棱锥M-ADGH+V四棱锥N-BCEF+V长方体ABCD-A1B1C1D1=.解析分析:(1)在平面ABNM中,作NF⊥AB于F,再过F作FE∥BC,交CD于E,连接EN.根据线面垂直的判定定理,可得AB⊥平面EFN.根据左视图,可得△EFN是斜边EF的等腰直角三角形,所以NF=,再用等腰梯形的性质,得到BF==1.最后在Rt△BFN中,算出BN=,结合四边形ABNM是等腰梯形,得AM=BN=.(2)根据题意,可先结合线面垂直的判定定理,证出NF⊥平面CDMN,结合NF?平面ABNM,可得平面ABNM⊥平面CDMN;(3)在平面BAMN内,作MN⊥AB于H,过H作HG∥BC交CD于G,连接MG.先证明平面MHG∥平面NFE,结合MN∥AB∥CD,AB⊥平面EFN,得到三棱柱MHG-NFE是直三棱柱.从而将该建筑物分为四部分:三棱柱MHG-NFE+四棱锥M-ADGH+四棱锥N-BCEF+长方体ABCD-A1B1C1D1,分别求出它们各自的体积,相加即得该建筑物的体积.点评:本题给出一个特殊建筑物,要求由三视图还原实物图,并求这个组合几何体的面积,着重考查了组合体积、线面垂直和面面垂直的判定与性质等知识点,属于中档题.