解答题已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k<0,且f(x)在区间[0,2]的表达式为f(x)=x(x-2).
(1)求f(-1),f(2.5)的值(用k表示);
(2)写出f(x)在区间[-3,2]上的表达式,并讨论f(x)在[-3,2]上的单调性(不要求证明);
(3)求出f(x)在区间[-3,2]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.
网友回答
解:(1)由条件得,∵区间[0,2]的表达式为f(x)=x(x-2),∴f(1)=-1,f(0.5)=-
∵f(x)=kf(x+2),∴f(-1)=kf(1)=-k,
(2)分段考虑,分以下情形:
情形一:当-3≤x≤-2时,有1≤x+4≤2,∴f(x+4)=(x+4)(x+2)
由f(x)=kf(x+2),得f(x)=k2f(x+4),∴此时f(x)=k2(x+4)(x+2)
情形二:当-2<x<0时,有0<x+2<2,∴f(x+2)=(x+2)x,∴此时f(x)=kx(x+2)
综上,
∵k<0,∴f(x)在[-3,-1]和[1,2]上是增函数,在[-1,1]上是减函数.
(3)由(2)中函数f(x)在[-3,2]上的单调性可知,f(x)在区间[-3,2]上的最大值为3k2,此时x=-1
当k<-1时,f(x)在区间[-3,2]上的最小值为-k2,此时x=-3
当-1<k<0时,f(x)在区间[-3,2]上的最小值为-1,此时x=1
当k=-1时,f(x)在区间[-3,2]上的最小值为-1,此时x=-3或x=1解析分析:(1)根据区间[0,2]的表达式为f(x)=x(x-2),可得f(1)=-1,f(0.5),利用f(x)=kf(x+2),即可求得f(-1),f(2.5)的值;(2)分段考虑,分以下情形:①当-3≤x≤-2时,f(x)=k2(x+4)(x+2);②当-2<x<0时,f(x)=kx(x+2),从而可得结论;(3)分类讨论:f(x)在区间[-3,2]上的最大值为3k2,此时x=-1;再分类讨论,确定函数f(x)在区间[-3,2]上的最小值,即可求得结论.点评:本题考查二次函数在闭区间上的最值问题,体现了换元的思想、分类讨论的数学思想,属于基础题.