设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a、b、c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意实数x恒成立，则的值等于________．

网友回答

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解析分析：作为一个选择题，可以令C取特殊值来求值，作为一个解答题，需将af（x）+bf（x-c）=1用和差角公式进行变形，利用恒成立的意义转化成关于a，b，c的方程，解出a，b，c的值，进而求解．

解答：令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=，c=π，则对任意的x∈R，af（x）+bf（x-c）=1，由此得=-1．一般地，由题设可得f（x）=sin（x+?）+1，f（x-c）=sin（x+?-c）+1，其中0＜?＜且tan?=，，于是af（x）+bf（x-c）=1可化为asin（x+?）+bsin（x+?-c）+a+b=1，即asin（x+?）+bsin（x+?）cosC-bcos（x+?）sinC+a+b-1=0，所以（a+bcosC）sin（x+?）-sinCcos（x+?）++a+b-1=0，由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，若b=0，则由（1）知a=0，显然不满足（3）式，故b≠0．所以，由（2）知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ（k∈Z）．当c=2kπ时，cosc=1，则（1）、（3）两式矛盾，故c=2kπ+π（k∈Z），cosc=-1．由（1）、（3）知a=b=，所以=-1．

点评：本题考查三角函数和差角公式的运用与恒成立条件的转化．解题过程中对不确定的情况要善于分类讨论．