设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2．（I）若∠AF1F2=α，∠AF2F1=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；（

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解：（I）设F1（-c，0），F2（c，0）．在△AF1F2中，由正弦定理得
==，
即|AF1|=，|AF2|=，
所以2a=|AF1|+|AF2|=+，
=2c（+）=2c?，
得e=．
（II）设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2）．
①当y0=0时，λ1+λ2=2=；当AB或AC与x轴垂直时，λ1+λ2=．
②当AB，AC都不与x轴垂直且y0≠0时，AC的方程为y=（x-c），
由，
消x得[b2（x0-c）2+a2y02]y2+2b2y0（x0-c）y+c2b2y02-a2b2y02=0．
由韦达定理得??y2y0=，
所以y2=，
所以?λ2==-=-，
同理可得λ1==-=-，
故λ1+λ2=．

解析分析：（I）设F1（-c，0），F2（c，0）．在△AF1F2中，由正弦定理得==，由此能求出e=．（II）设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2）．当y0=0时，λ1+λ2=2=；当AB或AC与x轴垂直时，λ1+λ2=．．当AB，AC都不与x轴垂直且y0≠0时，AC的方程为y=（x-c），由此能证明λ1+λ2=．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．