已知函数f（x）=-lnx，x∈（0，e）．在曲线y=f（x）上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为________．

网友回答

解析分析：由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，把x=t代入导函数即可求出切线的斜率，把t代入f（x）即可求出切点的纵坐标，根据切点的坐标和斜率表示出切线的方程，然后令y=0得到点A的横坐标，令x=0得到点B的纵坐标，根据t的范围得到求出的A的横坐标和B的纵坐标都大于0，然后利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积S，得到S与t的函数关系式，求出S的导函数，令导函数大于0，得到函数的增区间，令导函数小于0得到函数的减区间，根据函数的增减性即可得到S的最大值．

解答：设切点为（t，f（t））由已知 ，所以曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的切线方程为 ．令y=0，得A点的横坐标为xA=t（1-lnt），令x=0，得B点的纵坐标为yB=1-lnt，当t∈（0，e）时，xA＞0，yB＞0，此时△AOB的面积 ，，解S'＞0，得 ；解S'＜0，得 ．所以 是函数 的增区间； 是函数的减区间．所以，当 时，△AOB的面积最大，最大值为 ．故