在数列{an}中，a1=1，an+1=（c为常数，n∈N*）且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（1）求证：数列{}是等差数列（2）求c的值（3）设bn=an?

网友回答

解：（1）证明：∵an+1=
∴=
∴数列{}是等差数列；
（2）由（1）知数列{}是以1为首项，c为公差的等差数列，
∴=1+（n-1）c=cn+1-c，
∴an=
∴a2=，a5=，
因为a1，a2，a5成等比数列，
所以，
解得c=0或c=2．
当c=0时，a1=a2=a5，不符合题意舍去，
故c=2；
（3）证明：由（2）知an=，bn=an?an+1=
∴Sn==＜
故Sn＜．
解析分析：（1）要证明数列{}是等差数列，即要证明是一个常数，对条件an+1=取倒数即可证明结论；（2）根据（1）的结论，可以求出数列{an}的通项公式，从而求得a2，a5，根据a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，可得，解此方程即可求得结果；（3）根据（2）求得c的值，并代入bn=an?an+1，求出数列数列{bn}的通项公式，利用裂项相消法即可求得Sn，从而证明结论．

点评：本题考查等差数列的判定方法和裂项相消法求数列的前n项和，利用a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，求出c的值，是解题的关键，注意仔细审题，考查利用应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．