在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：（1）BD1⊥平面ACB1；（2）BE=ED1．

网友回答

证明：（1）先证明BD1⊥AC．
∵=++，=+，
∴?=（++）?（+）
=?+?=?-?=||2-||2
=1-1=0．
∴BD1⊥AC．同理可证BD1⊥AB1，
于是BD1⊥平面ACB1．
（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则==，即2=．
对于空间任意一点O，设=b，=m，=b1，=d1，
则上述等式可改写成2（m-b）=d1-b1或b1+2m=d1+2b．记==e．
此即表明，由e向量所对应的点E分线段B1M及D1B各成λ（λ=2）之比，
所以点E既在线段B1M（B1M?面ACB1）上又在线段D1B上，
所以点E是D1B与平面ACB1之交点，此交点E将D1B分成2与1之比，
即D1E：EB=2：1．∴BE=ED1．
解析分析：（1）利用向量的数量积，，从而证明BD1⊥平面ACB1；（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，推出2=．设=b，=m，=b1，=d1，求得点E分线段B1M及D1B各成λ（λ=2）之比，点E是D1B与平面ACB1之交点，此交点E将D1B分成2与1之比，即BE=ED1．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，考查转化思想，逻辑思维能力，是中档题．