已知函数．（I）求f（x）的极值；（II）若?x1∈（0，+∞），?x2∈[1，2]使成立，求a的取值范围；（III）已知．

网友回答

（Ⅰ）解：∵，
∴f′（x）=，
令f′（x）=0，即k-lnx=0，∴x=ek，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜ek；令f′（x）＜0，可得x＞ek；
∴函数在（0，ek）上单调增，在（ek，+∞）上单调减
∴函数f（x）在x=ek处取得极大值为f（ek）=e-k．
（II）解：∵
∴
若，即x1∈（1，+∞）时，在[1，2]上为单调增函数，
∴?x2∈[1，2]使成立，等价于?x1∈（1，+∞），使得，∴a＞1；
若，即x1∈（0，1]时，，在时，取得最小值为
∴?x2∈[1，2]使成立，等价于?x1∈（0，1]，使得，∴a＞0；
综上知，a＞0
（III）证明：∵x1＞0，x2＞0，且x1+x2＜e，
∴（x1+x2）（）=2+≥2+2=4＞0，
两式相乘，化简得x1+x2＞x1x2，
∴
解析分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的极值；（II）分离参数可得，再分类讨论，求出右边的最小值，即可求得a的取值范围；（III）只需要证明x1+x2＞x1x2，即可证得

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查存在性问题，考查不等式的证明，难度较大．