已知a＞0，≠1，f（logax）=（x-）．（1）求函数f（x）的表达式，并写出函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的单调性，并给出证明；（3）若不等式f（x2

网友回答

解：（1）令logax=t则x=at
所以f（t）=（at-a-t）
f（x）=（ax-a-x），定义域为R

（2）f′（x）=lna（ax+a-x）
当a＞1时，＞0，lna＞0，
f′（x）＞0，f（x）在R上单增
当0＜a＜1时，＜0，lna＜0f′（x）＞0，f（x）在R上单增
总之f（x）在R单增

（3）∵f（x）=
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x2）+f（kx+1）≤0
即为f（x2）≤f（-kx-1）
∵f（x）单增
∴不等式f（x2）+f（kx+1）≤0对实数x∈（1，2）恒成立
即为x2≤-kx-1对实数x∈（1，2）恒成立
即-k≥x+对实数x∈（1，2）恒成立
∵x+
∴-k≥
∴k≤-
解析分析：（1）通过令logax=t求出x，将t与x代入求出f（x）．（2）求出f（x）的函数，通过对a分类讨论判断出导函数的符号，据导函数的符号与函数单调性的关系，判断出函数的单调性．（3）求出f（-x），判断出函数的奇偶性，将不等式变形，利用奇偶性及单调性将符号f脱去，分离出k，求函数的范围，求出k的范围．

点评：本题考查知f（ax+b）求f（x）常用换元法、考查利用导数判断函数的单调性、考查利用函数的奇偶性，单调性解不等式．