已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=-2x
（I）求f（-1）的值；
（II）求f（x）的解析式；
（III）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
网友回答
解：（I）f（-1）=-f（1）=-（-2）=；
（II）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
f（-x）=--2-x，
又∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=+2-x，
综上所述f（x）=．
（III）∵f（1）=-＜f（0）=0，
且f（x）在R上单调，
∴f（x）在R上单调递减，
由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，
得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
∵f（x）是奇函数，
∴f（t2-2t）＜f（k-2t2），
又∵f（x）是减函数，
∴t2-2t＞k-2t2
即3t2-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0得k＜-，即为所求．
解析分析：（I）根据题意得，f（-1）=-f（1），结合当x＞0时，f（x）=-2x即可求出f（-1）；（II）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，知f（0）=0．当x＜0时，f（-x）=-2-x，由函数f（x）是奇函数，知f（x）=+2-x，由此能求出f（x）的解析式．（III）由f（1）=-＜f（0）=0且f（x）在R上单调，知f（x）在R上单调递减，由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），再由根的差别式能求出实数k的取值范围．
点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，同时注意函数性质的灵活运用．