如图，在正三棱锥A-BCD中，M、N分别是AD、CD的中点，BM⊥MN，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值为A.B.C.D.

网友回答

D

解析分析：先证明AC⊥面BMD，进而可得AC⊥AD，连接AN，BN，则BN⊥CD，AN⊥CD，故∠ANB为正三棱锥的侧面与底面所成角，从而可求其正切值．

解答：解：设点A在面BCD内的射影为A′∵三棱锥A-BCD为正三棱锥∴AB=AD，△BCD为正三角形，A′为△BCD中心∴CD⊥BA′，∵AA′⊥面BCD∴CD⊥AB，∵M、N分别是AD、CD的中点∴MN∥AC，∵BM⊥MN，∴AC⊥BM又∵BD⊥平面ACA'，BD?平面ACA'∴AC⊥BD，∵BD∩BM=B∴AC⊥面BMD，∵AD?面BMD∴AC⊥AD连接AN，BN，则BN⊥CD，AN⊥CD∴∠ANB为正三棱锥的侧面与底面所成角设CD=2a，则∴∠BAN=90°在△ABN中，故选D．

点评：本题考查了正三棱锥的性质，二面角的求法和面面垂直的性质，解题时要有空间想象力，要能恰当的沟通未知量之间的关系，能够用转化的思想方法将空间问题化为平面问题