设函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）?f（y）．（1）证明：f（0）=1；??????????（2）证明：

网友回答

（1）证明：设x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）?f（1），即f（1）=f（0）?f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）证明：∵对x1，x2∈R，x1＜x2，，有x2-x1＞0
∴f（x2）=f（x1+x2-x1）=f（x1）?f（x2-x1）中有f（x2-x1）＞1
由已知可，得当x1＞0时，f（x1）＞1＞0
当x1=0时，f（x1）=1＞0
当x1＜0时，f（x1）?f（-x1）=f（x1-x1）=f（0）=1
又∵f（-x1）＞1∴0＜f（x1）＜1
故对于一切x1∈R，有f（x1）＞0
∴f（x2）=f（x1）?f（x2-x1）＞f（x1），故命题得证．
（3）解?由f（x2+y2）＜f（1），则由单调性知x2+y2＜1．
由f（x+y+c）=f（0）=1和函数单调性知x+y+c=0，
若A∩B=φ，则只要圆x2+y2=1与直线x+y+c=0相离或相切即可，故≥1．
∴c≥或c≤
解析分析：（1）为使f（x+y）=f（x）?f（y）中有f（0），由当x＞0时，f（x）＞1．可设x=0，y=1可得f（1）=f（0）?f（1），结合f（1）＞1可求f（0）（2）要证明f（x）在R上是增函数，即证明当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），当x1，x2∈R，x1＜x2，，有x2-x1＞0，则f（x2）=f（x1+x2-x1）=f（x1）?f（x2-x1），可证（3）由f（x2+y2）＜f（1）及单调性知x2+y2＜1可求A；由f（x+y+c）=f（0）=1和函数单调性知x+y+c=0可求B，若A∩B=φ，用图形分析可得：只要圆x2+y2=1与直线x+y+c=0相离或相切即可

点评：本题主要考查了利用抽象函数的赋值法求解函数值，及利用构造法证明函数的单调性的技巧要求考生熟练应用，利用函数的单调性把集合的基本运算转化为直线与圆的位置关系，本题是一道构思非常巧妙的试题．