解答题设函数f（x）=log2（x+1）-log2（x-1）．
（1）求函数f（x）的奇偶性
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）的增减性，并进行证明；
（3）若x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2x+m恒成立，求实数m的取值范围．
网友回答
解：（1）f（x）=log2（x+1）-log2（x-1）．
定义域为（1，+∞）不关于原点对称
故函数f（x）为非奇非偶函数
（2）f（x）=log2（x+1）-log2（x-1）=（x＞1）
令g（x）=，设x1＞x2＞1
则g（x1）-g（x2）=-=
∵x1＞x2＞1
∴g（x1）-g（x2）＜0
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递减
（3）若x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2x+m恒成立，
则m＞[f（x）-2x]max=[-2x]max
而-2x在（3，+∞）上单调递减
∴[-2x]＜-7
∴实数m的取值范围是m≥-7解析分析：（1）先求函数的定义域，看其是否关于原点对称，不对称则为非奇非偶函数；（2）先化简，利用单调性的定义先判定g（x）=在（1，+∞）上的单调性，然后根据复合函数的单调性进行判定即可；（3）将x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2x+m恒成立，转化成m＞[f（x）-2x]max，然后根据函数的单调性求最值即可求出m的取值范围．点评：本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及函数的单调性的判定和恒成立问题，属于中档题．