如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，D为A1C1中点．（Ⅰ）求证；BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）三棱锥B-AB1D的体积．

网友回答

解：（Ⅰ）连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点，故DE为△A1BC1的中位线，∴BC1∥DE．
又DE?平面AB1D，BC1?平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．（6分）
（Ⅱ）过点D作DH⊥A1B1，∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴AA1⊥平面A1B1C1，AA1⊥DH，AA1∩A1B1=A1，
∴DH⊥平面ABB1A1．DH为三棱锥D-ABB1的高．（8分）
∵，（10分）
且 ，
∵．（12分）

解析分析：（Ⅰ）连结A1B与AB1交于E，与偶三角形的中位线的性质可得BC1∥DE，再根据直线和平面平行的判定定理，证明BC1∥平面AB1D．（Ⅱ）过点D作DH⊥A1B1，利用平面和平面垂直的性质可得DH⊥平面ABB1A1 ，DH为三棱锥D-ABB1的高，求出和DE的值，再根据，运算求得结果．

点评：本题主要考查证明直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的性质，求棱锥的体积，属于中档题．