设函数f(x)定义在R上,f(0)≠0,且对于任意a,b∈R,都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b).(1)求证:f(x)为偶函数;(2)若存在正数m使f

发布时间:2020-07-31 19:05:02

设函数f(x)定义在R上,f(0)≠0,且对于任意a,b∈R,都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b).
(1)求证:f(x)为偶函数;
(2)若存在正数m使f(m)=0,求证:f(x)为周期函数.

网友回答

解:(1)令a=b=0,得2f(0)=2f2(0).
∵f(0)≠0,∴f(0)=1.
又令a=0,b=x,则f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),
∴f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.
(2)问题就是要证:存在T≠0,使f(x+T)=f(x)恒成立,可T为何值呢?T与?m又有何关系?不难发现一个特殊函数f(x)=cosx满足题设条件,且cos0=1,而,又y=cosx为周期函数且周期为2π,它是的4倍,于是猜想f(x)是以4m为周期的周期函数.故在条件式中令
a=m,b=x,则f(m+x)+f(m-x)=2f(m)f(x)=0,故f(m+x)=-f(m-x).
令x取m+x,则
f(2m+x)=-f(-x)=-f(x).
∴f(4m+x)=-f(2m+x)=-(-f(x))=f(x),得证.
解析分析:(1)先根据f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)得到f(-x)=f(x),从而很容易得到函数f(x)的奇偶性.(2)问题就是要证:存在T≠0,使f(x+T)=f(x)恒成立,可T为何值呢?T与?m又有何关系?不难发现一个特殊函数f(x)=cosx满足题设条件,且cos0=1,而,又y=cosx为周期函数且周期为2π,它是的4倍,于是猜想f(x)是以4m为周期的周期函数.故在条件式中令a=m,b=x,得到证明.

点评:本题主要考查了抽象函数及其应用.对抽象的问题或一般性难以解决的问题,不妨剖析一个特殊情形,进而可望从结论或方法上得到某种启发,亦可构造一个满足条件的特殊模型,从中发现寓于一般情形之中的隐含性质.
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