已知数列{an}的前n项和为Sn，且，其中m是与n无关的常数，且m≠0，n∈N*．（I）证明：数列{an-1}是等比数列；（II）设bn=3n+1-an，当m≥2时，

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解：（I）因为①
所以②（2分）
由②-①，得
化简得，，（6分）
又n=1时，a1=2m+1，（7分）
所以{an-1}是以a1=2m+1为首项，2m为公比的等比数列．（8分）
（II）由（I）得an=2mn+1，（9分）
因为bn=3n+1-an=3n-2mn，
所以bn+1=3（n+1）-2m（n+1），
因此bn+1-bn=3-2mn（2m-1），（11分）
因为m≥2，所以2m-1≥3，2mn＞1，
所以bn+1-bn＜0，即bn+1＜bn对n∈N*恒成立，
所以f（m）=b1=3-2m，（14分）
从而f（m）max=3-4=-1．（16分）
（若设f（x）=3x-（2m）x，利用导数求该函数为减函数同样得满分．）
解析分析：（I）利用已知所给的递推公式及an+1=Sn+1-Sn可得得，整理可得，及a1=2m+1，可证（II））由（I）得an=2mn+1由bn=3n+1-an=3n-2mn，可得bn+1=3（n+1）-2m（n+1），从而可得bn+1-bn=3-2mn（2m-1）由m≥2，可得2m-1≥3，2mn＞1，即bn+1＜bn对n∈N*恒成立，f（m）=b1=3-2m，从而可求f（m）max

点评：（1）利用定义是证明数列为等比数列的常用方法，另外等比数列的等比中项法的应用也要主要掌握．（2）利用作差法证明数列的单调性进而求解数列的最值问题是解决此题的关键．