已知以T=4为周期的函数，其中m＞0．若方程4f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为A.B.C.D.

网友回答

C
解析分析：根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．

解答：解：：∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），此时，函数的图象实质上为一个半椭圆，其图象如图所示：同时在坐标系中作出当x∈（1，3]时的函数图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象．由图易知直线 y=与第二个半椭圆（x-4）2+=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x-8）2+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将 y=代入（x-4）2+=1 （y≥0）得，（16m2+1）x2-128m2x+240m2=0，令t=16m2（t＞0），则（t+1）x2-8tx+15t=0，由△=（8t）2-4×15t（1+t）＞0，得 t＞15．由 16m2 ＞15，且m＞0得 m＞．再将 y=代入（x-8）2+=1 化简，再由判别式△′＜0可得m＜．综上可得 ＜m＜，故选C．

点评：本题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析，是解答本题的关键，属于中档题．