如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点．（1）求证：AB1⊥A1C；（2）求证：BC1∥平面A1CD；（3）求C

网友回答

（1）证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，
∴B1C1⊥平面A1ACC1，
∵A1C?平面A1ACC1，
∴A1C⊥B1C1，
连接AC1，∵AC1⊥A1C，∴A1C⊥平面AB1C1．
所以AB1⊥A1C
（2）证明：连接AC1交A1C于O点，连接DO，则O为AC1的中点，
∵D为AB中点，∴DO∥BC1，
又∵DO?平面A1CD，BC1?平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD．
（3）解：以CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点．
∴C（0，0，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0），
∴D（1，1，0），=（2，0，2），=（1，1，0），，
设平面A1CD的法向量=（x，y，z），则，，
∴，解得=（1，-1，-1），
∴C1到平面A1CD的距离d===．
解析分析：（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，所以B1C1⊥平面A1ACC1，A1C⊥B1C1，由此能够证明AB1⊥A1C（2）连接AC1交A1C于O点，连接DO，则O为AC1的中点，由D为AB中点，知DO∥BC1，由此能够证明BC1∥平面A1CD．（3）以CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出C1到平面A1CD的距离．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．