椭圆?（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为________．

网友回答

[，]

解析分析：设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出 即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．

解答：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a? …①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα??? …②|BF|=2ccosα??? …③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故