已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a＜0）有两个极值点x1=1，x2=3，当时，f（x）＜3d2恒成立，则d的取值范围是________．

网友回答

d或d＜
解析分析：对f（x）进行求导，根据x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）的两个极值点可知3和1是方程3ax2+2bx+c=0的两根，利用韦达定理建立方程组，解之即可得a，b，c的关系；根据条件f（x）＜3d2恒成立，建立关于d的不等关系，然后利用研究函数的最值即可求出d的取值范围．

解答：∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c（a＜0）依题意有 3和1是方程3ax2+2bx+c=0的两根．∴解得 ，∴f（x）=ax3-6ax2+9ax+d．f′（x）=3ax2-12ax+9a，f（x）＜3d2恒成立，?ax3-6ax2+9ax+d＜3d2恒成立，?3d2-d＞ax3-6ax2+9ax恒成立，?3d2-d大于ax3-6ax2+9ax在上的最大值，∵ax3-6ax2+9ax在上是增函数，在x∈[1，3]上是减函数，在x∈[3，4]上是减函数，且当x=1和x=4的函数值相等，∴3d2-d＞a×13-6a×12+9a×1，即3d2-d＞4a，∴d或d＜．即为d的取值范围．

点评：考查学生会利用导数研究函数的极值，函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查归与转化思想．属于基础题．