已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
网友回答
解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，
∴，a=
∴c=，∴b=1，∴所求椭圆方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
①当AB⊥x轴时，|AB|=．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
∵坐标原点O到直线l的距离为，∴，∴得m2=（k2+1）．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，
∴x1+x2=-，x1x2=．
∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2=3+=3+≤3+（k≠0）
当且仅当9k2=，即k=±时等号成立．
当k=0时，|AB|=，
综上所述|AB|max=2．
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=．
解析分析：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（2）分类讨论，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数的关系，结合基本不等式，即可求△AOB面积的最大值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，求|AB|的最大值是关键．