已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=1-an(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)比较的大小(n∈N*);
(3)证明:.
网友回答
解:(1)∵Sn=1-an,当n=1时,a1=S1=1-a1,解得 .
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1),由此得2an=an-1即
∴数列{an}是首项为,公比为 的等比数列,∴
(2)令,构造函数,则,所以f(x)的最大值是,∴,∴
(3)由(2)可知且“=”成立的条件是x=ai,
所以:,
令,则,
所以:
∴
解析分析:(1)由Sn=1-an,解得 .an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1),由此得2an=an-1,从而得到数列{an}的通项公式;(2)令,构造函数,求导可知f(x)的最大值是,从而可以比较大小;(3)由条件可知且“=”成立的条件是x=ai,从而可证.
点评:本题考查等比数列的通项公式的求法和不等式的证明,解题时要熟练掌握数列的性质和应用,属于难题