如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且．
（1）求证：CN∥面AMB1；
（2）求证：B1M⊥面AMG；
（3）求：．
网友回答
解：（1）设AB1的中点为P，连接NP、MP…（1分）
∵△AB1B中，PN是中位线，∴PN∥B1B且PN=B1B
又∵矩形BB1C1C中，CM∥B1B且CM=B1B
∴CM∥NP且CM=NP…（2分）
∴四边形CNPM是平行四边形，可得CN∥MP…（3分）
∵CN?平面AMB1，MP?平面AMB1，
∴CN∥平面AMB1…（4分）
（2）∵CC1⊥平面ABC，CC1?平面CC1B1B
∴平面CC1B1B⊥平面ABC，
∵平面CC1B1B∩平面ABC=BC，AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，
∵B1M?平面CC1B1B，∴B1M⊥AG．…（5分）
∵CC1⊥平面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴CC1⊥BC，CC1⊥B1C1
设AC=2a，则CC1=2a
在Rt△MCG中，MG=
同理可得：B1M=a
∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，可得BB1⊥BC，
连接B1G，可得B1G=，
∴MG2+B1M2=，∴B1M⊥MG，…（7分）
又AG∩MG=G，∴B1M⊥平面AMG..…（8分）
（3）结合（2）中所设数据，可得…（9分）
∵AG⊥平面BGM，∴AG是三棱锥A-B1GM的高
∵S△B1GM=GM×MB1=××=a2，
∴三棱锥A-B1GM的体积VA-B1GM=×S△B1GM×AG=×a2×=a3，
即VAMB1G=VA-B1GM=a3，…（10分）
∴…（12分）
解析分析：（1）设AB1的中点为P，连接NP、MP．根据三角形△AB1B中PN是中位线，以及矩形BB1C1C中M是CC1中点，可证明出CM∥NP且CM=NP，从而四边形CNPM是平行四边形，可得CN∥MP，根据线面平行的判定定理，得到CN∥平面AMB1．（2）根据正三棱柱的性质，结合线面垂直的判定和性质，可得B1M⊥AG．设AC=2a，结合题中和线面垂直的位置关系，算出MG2+B1M2=，得出B1M⊥MG．最后根据线面垂直的判定定理，得到B1M⊥平面AMG．（3）根据AG⊥平面BGM，得AG是三棱锥A-B1GM的高．算出△B1GM的面积并结合棱锥体积公式，可得三棱锥A-B1GM的体积，得到VAMB1G=VA-B1GM=a3，而易得三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=，由此不难算出四面体AMB1G与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比．
点评：本题给出特殊三棱柱，求证线面垂直、线面平行并求多面体的体积之比，着重考查了空间线面平行的判定、线面垂直的判定与性质和锥体、柱体的体积公式等知识，属于中档题．