设数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:.

发布时间:2020-08-01 02:20:16

设数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:.

网友回答

解:(1)当n=1时,a1=5S1+1,∴a1=-,
又∵an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1,
∴an+1-an=5an+1,即且an≠0,n∈N*,
∴数列{an}是首项为a1=-,公比为q=-的等比数列,
∴an=(-)n;
(2),
∵,∴,∴Sn≠0,
又,
当n=2m,m∈N*(偶数)时,比值=,
当n=2m-1,m∈N*(奇数)时,比值=,
关于m为递增数列,当m=1时,取到最小值,
综上所述,对任何正整数n,不等式恒成立.
解析分析:(1)令n等于1代入an=5Sn+1中,即可求出首项a1,然后把n换为n+1,利用an=5Sn+1表示出an+1,两个式子相减并利用Sn+1-Sn=an化简后即可得到的值即为公比,得到此数列为等比数列,然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可;(2)由an=5Sn+1解出Sn,把第一问求出的{an}的通项公式代入即可得到Sn的通项公式,并表示出S2n,把表示出的式子代入到所证不等式的左边,讨论n为偶数和奇数得到比值的最小值为,得证.

点评:此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求出,会确定一个数列为等比数列,是一道综合题.
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