解答题如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),下顶点为A(0,-

发布时间:2020-07-09 01:18:48

解答题如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),下顶点为A(0,-b),直线AF与椭圆的右准线交于点B,若F恰好为线段AB的中点.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若直线AB与圆x2+y2=2相切,求椭圆C的方程.

网友回答

解?(1)因为B在右准线x=上,且F(c,0)恰好为线段AB的中点,
所以2c=,…(2分)
即=,所以椭圆的离心率e=.?????????…(4分)
(2)由(1)知a=c,b=c,所以直线AB的方程为y=x-c,即x-y-c=0,…(6分)
因为直线AB与圆x2+y2=2相切,所以=,…(8分)
解得c=2.所以a=2,b=2.
所以椭圆C的方程为+=1.???????????…(10分)解析分析:(1)由B在右准线x=上,且F(c,0)恰好为线段AB的中点可求得2c=,从而可求得其斜率;(2)由(1)可知a=c,b=c,从而可设AB的方程为y=x-c,利用圆心O(0,0)点到直线y=x-c间的距离等于半径2即可求得c,从而使问题得到解决.点评:本题考查椭圆的简单性质与椭圆的标准方程,考查化归思想与方程思想,求得椭圆的离心率是关键,属于中档题.
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