解答题已知函数f(x)=ax+lnx,x∈(l,e).
(Ⅰ)若函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为1,求实数a的值;
(Ⅱ)若f(x)有极值,求实数a的取值范围和函数f(x)的值域;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数g(x)=x3-x-2,证明:?x1∈(l,e),?x0∈(l,e),使得g(x0)=f(x1)成立.
网友回答
解:(Ⅰ)(1分)
∵函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为1,∴(2分)
∴(3分)
(Ⅱ)由,可得
∵x∈(1,e)
∴
∴(5分)
经检验时,f(x)有极值.
∴实数a的取值范围为.(6分)
列表
f(x)的极大值为(7分)
又∵f(1)=a,f(e)=ae+1
由a≥ae+1,解得又∵(8分)
∴当时,函数f(x)的值域为(9分)
当时,函数f(x)的值域为.(10分)
(Ⅲ)证明:∵当x∈(1,e)时,g'(x)=3x2-1>0,
∴g(x)在(1,e)上为单调递增函数(11分)
∵g(1)=-2,g(e)=e3-e-2∴g(x)在(1,e)的值域为(-2,e3-e-2)(12分)
∵e3-e-2>,-2<ae+1,-2<a
∴?(-2,e3-e-2),?(-2,e3-e-2)
∴?x1∈(1,e),?x0∈(1,e),使得g(x0)=f(x1)成立.(14分)解析分析:(Ⅰ)先求导数,再由函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为1,令求解.(Ⅱ)f(x)有极值,则有解,由x∈(1,e)得到,再由求得a的范围.求值域时,先求极值,再由a的范围,确定端点值与极值的大小关系,从而确定值域.要注意讨论.(Ⅲ):证明?x1∈(l,e),?x0∈(l,e),有g(x0)=f(x1)成立,即证函数f(x)的值域是函数g(x)的值域的子集.所以分别求得两个函数的值域,再盾集合的关系即可点评:本题主要考查导数的几何意义以及用导数求函数的极值、最值和值域等问题,有参数时一定要注意分类讨论.