函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线为:l:y=g(x)=f′(x0)(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,且a<x0<b,那么
A.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极大值点
B.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极小值点
C.F′(x0)≠0,x=x0不是F(x)极值点
D.F′(x0)≠0,x=x0是F(x)极值点
网友回答
B解析分析:先对函数F(x)进行求导,可确定F'(x0)=0即x0有可能是函数的极值点,然后再判断函数f(x)的增长快慢从而确定F(x)的单调性,得到结论.解答:∵F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0),∴F'(x)=f'(x)-f′(x0)∴F'(x0)=0由图知在[0,b]上函数f(x)增长的越来越快,∴f'(x)>0且是增函数∴当0<x<x0时∴F'(x)=f'(x)-f′(x0)<0,函数F(x)单调递减当x0<x<b时,F'(x)=f'(x)-f′(x0)>0,函数F(x)单调递增∴x=x0是F(x)的极小值点故选B.点评:本题主要考查函数的极值与其导函数的关系,即当函数取到极值时导函数一定等于0,反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值.