解答题己知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，A1、A2是椭圆的左右顶点，B1、B2是椭圆的上下顶点，四边形A1B1A2B2的面积为16．
（1）求椭圆C的方程；
（2）圆M过A1、B1两点．当圆心M与原点O的距离最小时，求圆M的方程．
网友回答
解：（1）依题意有：①…（2分）
四边形A1B1A2B2是以椭圆C的四顶点为顶点的菱形
可得：SA1B1A2B2=即②…（4分）
由①、②联解，可得：
所以椭圆C的方程为：…（6分）
（2）依题意得
可得A1B1的中点为（-2，），A1B1的斜率k=
∴A1B1的垂直平分线l的斜率为k'==-，
可得A1B1的垂直平分线l的方程为：y-=-（x+2），化简得…③（8分）
根据圆M过A1、B1两点，可得圆心M在l上，当圆心M与原点O的距离最小时，OM⊥l
∴OM的方程为…④（10分）
联立③、④得，得到…（12分）
由此可得，
因此，此时的圆M方程为：…（14分）解析分析：（1）根据椭圆的离心率和菱形A1B1A2B2的面积，建立关于a、b、c的方程组，解之可得，从而得到椭圆C的方程；（2）根据题意，过A1、B1两点的圆的圆心M在A1B1的垂直平分线l上，且当OM⊥l时圆心M与原点O的距离最小．由此得到直线OM的方程与直线l方程联解得到M（-，-），再由MA1长得到圆M的半径，得到此时圆M的方程．点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并且求圆心M与原点距离最小时的圆M的方程，着重了椭圆的标准方程和简单几何性质、圆的标准方程等知识，属于中档题．